Endomorphismes Normaux

Par Cédric ABRIAT Cette note se propose de présenter quelques propriétés des endomorphismes normaux

Soit E un espace hermitien i.e. un ℂ −espace vectoriel normé de dimention finie I.Propriétés générales \underline{Définition}

Soit u un endomorphisme de L(E), u est un endomorphisme normal si et seulement si uu^{∗} = u^{∗}u.

Exemples

• les endomorphismes autoadjoints (car u^{∗} = u!)

• les endomorphismes anti-symétriques

• les projecteurs orthogonaux

• les endomorphismes orthogonaux \underline{Propriété 1}

Si u est normal alors:

(i) ∥u^{∗}(x)∥ = ∥u(x)∥ (ii) E = Ker(u) ⨁^{⊥} Im(u) Preuve Par définition de l’adjoint et commutation de u et son adjoint:

∥u(x)∥^{2} = ⟨u(x)|u(x)⟩ = ⟨x|u^{∗}u(x)⟩ = ⟨x|uu^{∗}(x)⟩ = ⟨u^{∗}(x)|u^{∗}(x)⟩ = ∥u^{∗}(x)∥^{2} d’où (i) De plus (i) donne immédiatement Ker(u) = Ker(u^{∗}) (en précisant que E est de dimension finie), or l’adjoint vérifie Ker(u^{∗}) = (Im(u))^{⊥}, donc on obtient:

Ker(u) = (Im(u))^{⊥}

En dimension finie un sous-espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires d’où (ii). \underline{Propriété 2} Réduction des endomorphismes normaux

Un endomorphisme est normal si et seulement si il est diagonalisable dans une base orthonormée.

Preuve Soit u un endomorphisme normal. L’idée de la démonstration, commune à beaucoup de preuves de diagonalisabilité ou de trigonalisabilité des endomorphismes est d’utiliser la stabilité et l’existence d’une valeur propre dans une démonstration par récurrence. Démontrons donc la condition suffisante par réccurence sur n dimension de E. Le résultat est vrai pour n=1. Supposons le résultat acquis pour un espace vectoriel de dimension n. Soit E de dimension n + 1. Puisque E est hermitien il existe une valeur propre λ pour u associé à un espace propre E_{λ} de dimension n ≥ 1 Son supplémentaire orthogonal est donc de dimension inferieure ou égale à n. Comme u^{∗} et u commutent, tout sous-espace propre de u est stable par u^{∗}. Or E_{λ} est propre pour u donc il est stable par u^{∗}. La propriété de l’adjoint u^{∗} étant de laisser stables l’orthogonal des espaces stables par u, on en déduit que E_{λ}^{⊥} est stable par u^{∗∗} = u. E_{λ}^{⊥} est donc stable par u et u^{∗}, considérons donc les restrictions sur cet espace de u et u^{∗}, notée ũ et u^{∗}. ũ et u^{∗} commutent puisque u et u^{∗} commutent sur E, ũ et u^{∗} sont donc deux endomorphismes normaux d’un espace de dimension au plus n, il existe donc une base B de E_{λ}^{⊥} qui diagonalise ũ et u^{∗}. Puisque la restriction de u à E_{λ} de base B′ (que l’on peut choisir orthonormale) est une homothétie, en réunissant les bases B et B′ on obtient une base orthonormale qui diagonalise u. Réciproquement si u diagonalisable dans une base orthonormée, u^{∗} est diagonalisable dans la même base car Mat(u^{∗}, B) = (Mat(u, B))^{∗}, donc u et u^{∗} commutent. D’où le résultat.

Remarque Cette proposition n’est valable que dans le cas hermitien, la réduction des endomorphismes normaux réels est un peu plus difficile à établire. On dispose notamment du résultat: Soit E euclidien, u ∈ L(E), u normal. Alors il existe une base orthonormale B par rapport à laquelle u admet une matrice du type:

Mat(u, B) = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & ... & & & 0 \\ & & λ_{p} \\ & & & S_{1} \\ & 0 & & & ... \\ & & & & & S_{q} \end{matrix} )

où S_{k} = ( \begin{matrix}a_{k} & −b_{k} \\ b_{k} & a_{k} \end{matrix} ) et λ_{i}, a_{k}, b_{k} ∈ ℝ

\underline{Propriété 3}

u est normal si et seulement si u^{∗} est un polynôme en u

Preuve Si u est normal il est diagonalisable dans une base orthonormée d’après la propriété 2. On a donc:

Mat(u, B) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & λ_{n} \end{matrix} )

La base étant orthonormale il découle que:

Mat(u^{∗}, B) = (Mat(u, B))^{∗} = ( \begin{matrix}λ̄_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ̄_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & λ̄_{n} \end{matrix} )

On cherche P tel que u^{∗} = P (u), compte tenu de la forme des matrices de u et u^{∗}, cela revient à chercher P tel que : ∀iλ̄_{i} = P (λ_{i}) On peut donc prendre le polynôme interpolateur de Lagrange:

P (X) = ∑_{i=1}^{p} λ_{i} \frac{∏_{{j=1 \atop j≠i}} X − λ_{i}}{∏_{{j=1 \atop j≠i}} λ_{i} − λ_{j}}

En notant (λ_{1}, …, λ_{p}) les p valeurs propres distinctes de u. Réciproquement si u^{∗} est un polynôme en u, u et u^{∗} commutent bien et u est normal. D’où le résultat. \underline{Corollaire}

u est normal si et seulement si u et u^{∗} ont même commutant.

Preuve Si u et u^{∗} ont même commutant i.e. C_{u} = C_{u^{∗}} alors u qui est dans C_{u} est dans C_{u^{∗}} et donc u commute avec u^{∗}. Si u est normal u^{∗} est un polynome en u donc tout endomorphisme v qui commute avec u commute avec u^{∗}, donc C_{u} ⊂ C_{u^{∗}}, en passant à l’adjoint:

C_{u^{∗}} ⊂ C_{(u^{∗})^{∗}} = C_{u}

Propriété 4: Caractérisation matricielle

Soit A une matrice de E, A est normale si et seulement si:

T r(AA^{∗}) = ∑_{λ_{i}∈Sp(A)} |λ_{i}|^{2}

Preuve Le corps de base étant ℂ on trigonalise A puis on orthonormalise la base de trigonalisation: il existe donc U unitaire et T triangulaire supérieure telles que:

T = U^{∗}AU

D’où:

T r(A^{∗}A) = T r(UT^{∗}U^{∗}UT U^{∗}) = T r(T^{∗}T)

Or on a:

T r(T^{∗}T) = ∑_{λ_{i}∈Sp(A)} |λ_{i}|^{2} + ∑_{i<j} |t_{i,j}|^{2}

On a donc le résultat si et seulement si t_{i,j} = 0 pour i < j ou encore si et seulement si T est diagonale. Cette dernière condition équivaut d’après la proposition 2 à u normal, d’où le résultat.

\underline{Propriété 5}

u est un endomorphisme normal si et seulement si les facteurs de sa décomposition polaire commutent.

II.Projecteurs orthogonaux

On étudie dans cette partie un cas particulier des endomorphismes normaux: les projecteurs orthogonaux. On en propose une définition ainsi que différentes caractérisations.

Définition-caractérisation 1

On appelle projecteur orthogonal un projecteur tel que E = Imp ⨁^{⊥} Ker p

Remarques

• la seule différence avec un projecteur est donc le caractère orthogonal de la somme directe.

• évidemment puisque p est un projecteur on a toujours p^{2} = p

Caractérisation 2

Un endomorphisme de (E) est un projecteur orthogonal si et seulement si:

(i) p est un projecteur i.e. p^{2} = p (ii) p est auto-adjoint p = p^{∗}

Remarques

• Le (ii) explique pourquoi un projecteur orthogonal est normal...

• En somme, projecteur auto-adjoint et projecteur orthogonal, c’est la même chose!

Preuve

Supposons p projecteur orthogonal, alors soient (x, y) ∈ E^{2} en reservant l’indice 1 pour la projection suivant Imp l’indice 2 suivant Ker p (licite d’après la caractérisation 1):

⟨p(x)|y⟩ = ⟨x_{1}|y_{1} + y_{2}⟩ = ⟨x_{1}|y_{1}⟩
⟨x|p(y)⟩ = ⟨x_{1} + x_{2}|y_{1}⟩ = ⟨x_{1}|y_{1}⟩

En utilisant l’orthogonalité de Im(p) et Ker(p). Et donc p = p^{∗} par unicité de l’adjoint. Réciproquement, soit p un projecteur autoadjoint. Alors d’après la propriété de l’adjoint

Im(p^{∗}) = Ker(p)^{⊥} avec p = p^{∗} on obtient: Im(p) = Ker(p)^{⊥} et la carectérisation 1 est vérifiée, d’où le résultat.

Caractérisation 3

Un endomorphisme de (E) est un projecteur orthogonal si et seulement si:

(i) p est un projecteur i.e. p^{2} = p (ii) p contracte les distances ∀x ∈ E ∥p(x)∥ ≤ ∥x∥

Remarque

• Cette carctérisation est en terme de norme donc.

Preuve

Soit p un projecteur orthogonal, alors:

∥p(x)∥^{2} = ⟨p(x)|p(x)⟩ = ⟨x|p^{∗}[p(x)]⟩ = ⟨x|p[p(x)]⟩ = ⟨x|p(x)⟩

L’inégalité de Cauchy-Schwartz permet alors de conclure sachant que pour x = 0 l’inégalité est triviale.

Réciproquement si p est un projecteur vérifiant (ii) montrons la caractérisation 1. L’idée est de rendre l’égalité (ii) "dynamique"; pour celà on introduit le vecteur y + λx avec x dans le noyau de p et y dans l’image:

∥p(y + λx)∥^{2} = ∥p(y)∥^{2} ≤ t^{2}∥x∥^{2} + 2t⟨x|y⟩ + ∥y∥^{2}

Or y est dans l’image donc p(y) = y et donc:

∀t ∈ ℝ 0 ≤ t^{2}∥x∥^{2} + 2t⟨x|y⟩

Supposons que ⟨x|y⟩ est non nul le polynome P (t) = t^{2}∥x∥^{2} + 2t⟨x|y⟩ possède deux racines distinctes 0 et ⟨x|y⟩ et donc change de signe, ce qui est absurde d’après l’inégalité précédente.

On en déduit donc ⟨x|y⟩ = 0 et donc la caractérisation 1 est satisfaite. D’où la caractéristaion.

Caractérisation 4

Un endomorphisme de (E) est un projecteur orthogonal si et seulement si:

(i) p est un projecteur i.e. p^{2} = p (ii) p est de norme 0 ou 1 i.e. |||p||| = 0 ou |||p||| = 1

Remarque

• Cette carctérisation est intrinsèque; sans vecteurs.

• Si le projecteur est de norme 0 il est nul! On peut alors dire Tout projecteur orthogonal non nul est donc de norme triple égale à 1. Preuve Evidemment on utilise la caractérisation précédente qui donne (ii): ∥P (x)∥ ≤ ∥x∥, on en

déduit: |||p||| ≤ 1.

De plus p est un projecteur donc p^{2} = p et donc par sous-multiplicativité de la norme triple:

|||p||| = |||p^{2}||| ≤ |||p|||^{2}

Et donc: soit |||p||| = 0, soit |||p||| ≠ 0 et en simplifiant par |||p||| il vient 1 ≤ |||p|||. D’après la majoration précédente on en déduit: |||p||| = 1. La réciproque est claire.

\underline{Corolaire}

L’ensemble P des projecteurs orthogonaux est en compact de L(E)

Preuve On montre que P est un fermé de L(E) et borné. P est borné car d’après la caractéri-

sation 4 tout projecteur orthogonal est de norme triple 0 ou 1. P est fermé dans L(E) en tant qu’intersection de deux fermés de L(E) (fermés car image réciproque par une application continue): D’après la caractérisation 2: P = φ^{−1}(O_{E}) ∩ ψ^{−1}(0_{E})

où ϕ est l’application (u ↦ u^{∗} − u) qui est bien continue (fonction polynominale d’après la propriété I.3).

et ψ est l’application (u ↦ u^{2} − u) qui est bien continue (fonction polynominale). D’où le résultat.