SERIES

⋆ Equivalents classiques: comment les obtenir?

• ∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{k} = ln(n) + γ + o(1) comparaison série-intégrale, γ ≃ 0, 6

• ∑_{k=1}^{+∞} k^{α} ∼ \frac{n^{α+1}}{α+1} diviser l’équivalent par n^{α+1}: celà fait furieusement penser à un somme de

Riemann.

• ∑_{k=n}^{+∞} \frac{1}{k^{α}} ∼ \frac{1}{(α−1)n^{α−1}} comparaison série-intégrale

⋆ Abel ou le coté obscur du progamme

Dès que le terme général d’une serie se met sous la forme de produit du type a_{n}b_{n} avec (a_{n})_{n≥0} série convergente et (b_{n}) une suite possédant des qualités particulières, Abel n’est pas loin. Pour prouver la convergence de la série de terme général (a_{n}b_{n}) on procède en deux temps:

▷D’abord on fait une transformation d’Abel, qui consiste à écrire a_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k} − a_{k−1} = A_{n} − A_{n−1}, puis à écrire: S_{n+p} − S_{n} = ∑_{k=n}^{n+p} a_{k}b_{k} = ∑_{k=n}^{n+p}(A_{k} − A_{k−1})b_{k} puis par changement d’indice, on tombe sur une quantité que l’on va pouvoir majorer.

▷On utilise alors le critère de Cauchy pour les séries, en utilisant l’eventuelle décroissance de b_{n} on peut aboutir par exemple à: ∥∑_{k=n}^{n+p} a_{k}b_{k}∥ ≤ 2Mb_{n} si b_{n} tend vers 0 quand n tend vers l’infini on vérifie alors bien le critère de Cauchy pour les séries.

La règle d’Abel est radicale avec les séries (∑ \frac{cos(nθ)}{n^{α}}) et (∑ \frac{cos(nθ)}{n^{α}}), en repassant aux complexes pour prouver que cos(nθ) et sin(nθ) sont des séries convergentes et donc que leur somme partielle sont bornées, et sachant que (\frac{1}{n^{α}})_{n≥0} est décroissante, tend vers 0...

⋆ Un résultat important pour la convergence des séries

Soit f une fonction C^{1} telle que f et f′ soient intégrable sur [0; +∞], alors la série (∑ f(n)) converge.

Preuve: On applique Taylor Reste Intégral à F primitive de f:

F (n + 1) = F (n) + f(n) + ∫_{n}^{n+1}(n + 1 − t)f′(t)dt

(Ce qui revient à intégrer par partie en rajoutant une constante (n + 1) !!) Soit f(n) = a_{n} + b_{n}. La série (a_{n}) converge car elle est téléscopique, et F a bien une limite en +∞ par intégrabilité de f. La série (b_{n}) converge car |b_{n}| ≤ ∫_{n}^{n+1} |f′(t)|dt. D’où le résultat.

⋆ Un autre résultat important: D’Alembert plus

Soit une série dont le terme général est strictement positif et telle qu’il existe α tel que: \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = 1 − \frac{α}{n} + O(\frac{1}{n^{2}} ) Alors il existe une constante réelle strictement positive A telle que: u_{n} ∼ \frac{A}{n^{α}}

Idée de la preuve: on étudie la série v_{n} = ln(n^{α}u_{n}), en étudiant a_{n} = v_{n+1} − v_{n} on trouve que a_{n} = O(\frac{1}{n^{2}} ) d’où la convergence absolue de (a_{n}). On conclue en disant que la série (v_{n+1} − v_{n}) et la suite (v_{n}) ont même nature.

⋆ Méthodes de calcul des séries

1) Utiliser des séries téléscopiques; pour celà on peut utiliser une décomposition en élément simple ou une formule de trigo.

2) Utiliser la décomosition en élément simple et la série harmonique.

3) Si la méthode précédente est trop compliquée uiliser \frac{1}{1+n} = ∫_{0}^{1} t^{n}dt puis minorer le reste de cette série géométrique.

4) Passer en complexe.

5) Série entière.

6) P (n)/n! decomposer P (n) sur une base adaptée.

7) Abel...

⋆ Séries classiques

• ∑_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

• ∑_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (écrire ∑(k + 1)^{3} − k^{3} )

• ∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

• ∑_{k=1}^{+∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{12} (distinguer pairs et impairs...)